数学物理方法第五章——常微分方程的基本概念与性质。
第五章 常微分方程的基本概念与方法
5.1 常微分方程及其解的定义
- 常微分方程：联系自变量$x$与未知函数$y=y(x)$和它的导数$y’=y’(x)$以及直到$n$阶导数$y^{(n)}=y^{(n)}(x)$的方程
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阶：常微分方程导数的最高阶$n$。
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线性常微分方程：方程(1)对未知函数$y$和它的各阶导数$y’,y’‘,…,y^{(n)}$的全体而言是一次的，则称之为线性常微分方程。
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通解：包含$n$个独立的任意常数$c_1,c_2,…,c_n$的$n$阶常微分方程的解
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特解：不包含任意常数的解。
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隐式解：如果由方程$\Phi(x,y)=0$确定的隐函数$y=\varphi(x)$是常微分方程的解，则称该解为它的隐式解。
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隐式通解：含有$n$个任意常数的隐式解。
例1 下面的方程都是常微分方程：
（1）$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^3(x\neq 0)\qquad\qquad$（2）$\frac{dy}{dx}=1+y^2$
（3）$y’‘+yy’=x\qquad\qquad\qquad\quad$（4）$\frac{d^2\theta}{dt^2}+a^2\theta=0$
其中，方程（1）（4）是线性的，方程（2）（3）是非线性的。
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定解条件：常微分方程满足某一个（某一组）特定条件的解。
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定解问题：求解常微分方程满足定解条件的问题。
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初值条件：求$n$阶常微分方程满足条件
的解。
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初值问题/Cauchy问题：求解常微分方程满足初值条件的问题。
- 边值条件：对于二阶常微分方程，常用的边值条件有
- Dirichlet问题：$y(a)=y_a,y(b)=y_b,I=[a,b]$；
- 周期边值问题：$y(a)=y(b),y’(a)=y’(b),I=[a,b]$。
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边值问题：求解常微分方程满足边值条件的问题。
- 周期解：设$I=\mathbb{R}$，且$F$关于$x$是$T-$周期函数，即$F(x+T,\cdot)=F(x,\cdot)$。如果它是常微分方程$F(x,y,y’,y’‘,…,y^{(n)})=0$的解，则称它是该方程的一个$T-$周期解。
5.2 一阶线性常微分方程
形如
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\]的方程称为一阶线性（常）微分方程，其中$q(x),p(x)$在区间$I$上连续。
当$q(x)\equiv 0$，即
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=0\]时，方程称为一阶齐次线性微分方程。
当$q(x)\not\equiv 0$时，方程称为一阶非齐次线性微分方程。
5.2.1 一阶齐次微分方程的通解
改写成
\[\frac{dy}{y}+p(x)dx=0\]积分求解，得
\[y=Ce^{-\int p(x)dx}\]虽然上面要求$C\neq 0$，但对于原方程$C$可以为0，因此$C$为任意常数。
5.2.2 一阶非齐次线性微分方程的通解
1、常数变易法
先求出相应的一阶齐次线性微分方程的通解，然后假设非齐次方程有如下形式的解
\[y=C(x)e^{-\int p(x)dx}\]然后代回原非齐次方程，可以确定$C(x)$。
2、积分因子法